행렬의 크기 - 차원, 놈, 계수

행렬의 크기를 나타내는 개념에는 몇 가지 중요한 개념들이 있습니다. 이들은 행렬의 다양한 특성을 수치적으로 표현하고 이해하는 데 사용됩니다. 주요 개념으로는 차원(dimension), 노름(norm), 그리고 계수(rank) 등이 있습니다.

 

1. 행렬의 차원 (Dimension)

행렬의 차원은 행과 열의 개수로 정의됩니다. 행렬은 일반적으로 m×n 형식으로 표현되며, 여기서 m은 행(row)의 개수, n은 열(column)의 개수를 의미합니다.

• 예시: A가 3×4 행렬이라면, A는 3개의 행과 4개의 열을 가지고 있습니다.
• 표현: m×n으로 표시하며, 행의 수와 열의 수를 포함해 행렬의 모양을 설명합니다.

2. 행렬의 놈 (Matrix Norm)

행렬의 놈(norm)은 행렬의 크기나 "길이"를 나타내는 값으로, 행렬을 스칼라로 표현하는 일종의 측정 방법입니다. 여러 가지 유형의 놈이 있으며, 가장 일반적인 놈은 다음과 같습니다.

• 프르베니우스 놈(Frobenius Norm): 모든 원소의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다. 마치 벡터의 유클리드 놈처럼 행렬의 모든 원소들을 기준으로 크기를 측정하는 방식입니다.

 

• 연산자 놈(Operator Norm): 이 놈은 특정 벡터 공간에서의 변환으로서 행렬의 크기를 측정하는 방식입니다. 스펙트럼 놈(Spectral Norm)이라고도 하며, 이는 행렬의 가장 큰 고유값의 크기와 관련이 있습니다.
• 1- 놈 및 무한대 놈: 1-놈은 각 열의 절댓값의 합 중에서 가장 큰 값을 취하고, 무한대 놈은 각 행의 절댓값의 합 중에서 가장 큰 값을 취하는 방식입니다.

3. 행렬의 계수 (Rank)

행렬의 계수(rank)는 행렬의 선형적으로 독립인 행이나 열의 최대 개수를 나타내는 값입니다. 이는 행렬의 선형 독립성을 측정하며, 행렬의 정보나 "차원 축소 가능성"을 알려줍니다.

• 예시: 만약 행렬의 모든 행이 서로 독립적이면 행렬의 계수는 행의 개수와 같습니다. 그러나 만약 행들 중 일부가 다른 행의 선형 결합으로 표현될 수 있다면, 계수는 더 작아집니다.
• 행렬의 풀 랭크 (Full Rank): 행렬이 가질 수 있는 최대 계수를 가지면 이를 풀 랭크라고 합니다. 예를 들어, m×n행렬에서 계수가 min⁡(m,n)과 같다면, 이 행렬은 풀 랭크입니다.

4. 행렬의 행렬식 (Determinant)

 행렬식(determinant)은 정방 행렬에 대해서만 정의되며, 주로 행렬의 크기와 관련된 특정 특성을 나타내는 스칼라 값입니다. 행렬식이 0이 아닌 경우, 행렬은 역행렬을 가지며 풀 랭크입니다. 행렬식은 행렬이 가진 고유한 변환 성질을 설명하는 중요한 수치적 척도입니다.

 

 

5. 고유값의 크기 (Spectral Radius)

행렬의 고유값(Eigenvalue)들은 행렬의 특성을 나타내는 중요한 값입니다. 행렬의 스펙트럼 반경(Spectral Radius)은 모든 고유값들의 절댓값 중 가장 큰 값을 의미합니다. 이는 행렬의 "성장률"을 나타내는 데 사용될 수 있습니다.

 

요약

• 차원 (Dimension): 행렬의 행과 열의 개수.
• 놈 (Norm): 행렬의 크기 또는 길이를 측정하는 척도. (프르베니우스 노름 등)
• 계수 (Rank): 선형적으로 독립적인 행 또는 열의 최대 개수.
• 행렬식 (Determinant): 정방 행렬에서 크기와 관련된 특성을 나타내는 값.
• 고유값 및 스펙트럼 반경 (Eigenvalues & Spectral Radius): 행렬의 변환 특성과 관련된 크기.

이러한 개념들은 선형대수학에서 행렬의 성질을 깊이 있게 이해하는 데 필수적이며, 통계학, 데이터 과학, 컴퓨터 그래픽 등 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 합니다.