행렬의 놈(Norm) 쉽게 이해하기

놈 (Norm)

 행렬의 노름 (Norm)은 쉽게 말해서 행렬의 "크기"를 측정하는 방법 중 하나입니다. 벡터에서 길이를 재는 것처럼, 행렬도 전체적으로 얼마나 "큰지"를 나타내는 수치가 필요합니다. 이걸 노름이라고 부릅니다. 행렬의 노름은 행렬 안에 있는 모든 원소들을 기반으로 행렬의 전체적인 크기를 하나의 숫자로 표현하는 것이에요. 이를 통해 우리가 행렬의 "길이" 또는 "크기"를 알 수 있게 됩니다.

 

이제, 노름이 무엇인지 몇 가지 중요한 유형을 예로 들어 풀어서 설명할게요.

1) 프르베니우스 노름 (Frobenius Norm)

프르베니우스 노름은 행렬의 모든 원소를 제곱해서 더한 다음 그 값의 제곱근을 구하는 방식으로 정의돼요. 마치 벡터의 유클리드 길이를 구하는 것과 비슷합니다.

• 비유: 프르베니우스 노름은 행렬 안에 있는 모든 숫자를 각각 제곱한 다음 합쳐서, "그 값이 얼마나 큰지"를 측정하는 것이라고 생각할 수 있어요.
• 공식: 행렬 A가 있다고 할 때,

• 여기서 ij는 행렬의 각 원소를 의미합니다.
• 예시: 예를 들어,

 

즉, 이 행렬의 전체 크기는 약 5.477이라는 거예요.

2) 1-노름 (One Norm)

1-노름은 행렬의 각 열에 있는 원소들의 절댓값을 모두 더한 후, 그 합 중에서 가장 큰 값을 찾는 방식입니다. 행렬의 "세로로" 얼마나 큰지 측정하는 것과 비슷해요.

• 공식: 각 열의 원소들의 절댓값을 더한 후 가장 큰 값을 찾습니다.

3) 무한대 노름 (Infinity Norm)

무한대 노름은 행렬의 각 행에 있는 원소들의 절댓값을 모두 더한 후, 그 합 중에서 가장 큰 값을 찾는 방식입니다. 행렬의 "가로로" 얼마나 큰지 측정하는 것과 유사합니다.

 

 

4) 스펙트럼 노름 (Spectral Norm)

스펙트럼 노름은 행렬의 고유값 중 가장 큰 값의 크기로 정의되며, 행렬이 벡터를 변형할 때 얼마나 크게 변형할 수 있는지 측정하는 개념입니다. 조금 더 어려운 개념이지만, 쉽게 말해 이 노름은 행렬이 벡터에 미치는 최대의 영향력을 측정하는 것이라고 볼 수 있어요.

 

비유를 통해 이해하기

• 프르베니우스 노름: 모든 원소의 크기를 다 합쳐서 행렬이 얼마나 큰지 보는 거예요. 마치 모든 물건의 무게를 합쳐서 상자에 얼마나 많은 물건이 들어있는지 보는 느낌이죠.
• 1-노름과 무한대 노름: 각각 세로(열)로 얼마나 큰지, 가로(행)로 얼마나 큰지를 보는 방식이에요. 가장 무거운 열이나 행을 찾는 거라고 생각하면 돼요.
• 스펙트럼 노름: 행렬이 벡터를 변형할 때 가장 크게 변형할 수 있는 크기를 나타내는 값이에요. 마치 "이 행렬이 할 수 있는 가장 강한 변화가 무엇일까?"를 생각하는 거죠.

요약

행렬의 노름은 여러 가지 방식으로 행렬의 "크기"를 측정하는 방법입니다. 각 노름은 행렬이 벡터나 공간에 미치는 영향을 다르게 측정하고, 이를 통해 우리가 행렬의 특성을 이해하는 데 도움을 줍니다. 조금 어려운 개념일 수 있지만, 다양한 노름을 이해하면 행렬이 얼마나 "강력한지" 또는 "큰지"에 대해 직관적으로 파악하는 데 큰 도움이 될 거예요.